Handige tips

Factorisatie van een polynoom

Pin
Send
Share
Send
Send


Factor de veelterm:
x 4 + x 3-6 x 2.

Plaats x 2 tussen haakjes:
.
We lossen de kwadratische vergelijking x 2 + x - 6 = 0 op:
.
De wortels van de vergelijking:
, .

Daarom verkrijgen we de factorisatie van het polynoom:
.

Factorpolynoom van de derde graad:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Plaats x tussen haakjes:
.
We lossen de kwadratische vergelijking x 2 + 6 x + 9 = 0 op:
Zijn discriminant :.
Omdat de discriminant gelijk is aan nul, zijn de wortels van de vergelijking meervoudig :,
.

Daarom verkrijgen we de factorisatie van het polynoom:
.

Factor polynoom vijfde graad:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

Plaats x 3 tussen haakjes:
.
We lossen de kwadratische vergelijking x 2 - 2 x + 10 = 0 op.
Zijn discriminant :.
Omdat de discriminant minder dan nul is, zijn de wortels van de vergelijking complex :,
, .

Factorisatie van de polynoom is:
.

Als we geïnteresseerd zijn in factoring met reële coëfficiënten, dan:
.

Voorbeelden met biquadratische polynomen

Factor de biquadische polynoom:
x 4 + x 2 - 20.

We passen de formules toe:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2,
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

,
.

Factoreer de polynoom tot biquadratisch:
x 8 + x 4 + 1.

We passen de formules toe:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2,
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

,

,
.

Voorbeelden van factoring polynomen met gehele getallen

Factor de veelterm:
.

Neem de vergelijking aan

heeft ten minste één hele wortel. Dan is het een deler van 6 (een term zonder x). Dat wil zeggen, de hele wortel kan een van de getallen zijn:
–6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6 .
We vervangen deze waarden op hun beurt:
(–6) 3 – 6·(–6) 2 + 11·(–6) – 6 = –504 ,
(–3) 3 – 6·(–3) 2 + 11·(–3) – 6 = –120 ,
(–2) 3 – 6·(–2) 2 + 11·(–2) – 6 = –60 ,
(–1) 3 – 6·(–1) 2 + 11·(–1) – 6 = –24 ,
1 3 – 6·1 2 + 11·1 – 6 = 0 ,
2 3 – 6·2 2 + 11·2 – 6 = 0 ,
3 3 – 6·3 2 + 11·3 – 6 = 0 ,
6 3 – 6·6 2 + 11·6 – 6 = 60 .

Dus vonden we drie wortels:
X 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
Aangezien het oorspronkelijke polynoom van de derde graad is, heeft het niet meer dan drie wortels. Omdat we drie wortels hebben gevonden, zijn ze eenvoudig. dan
.

Factor de polynoom:
.

Neem de vergelijking aan

heeft ten minste één hele wortel. Dan is het een deler van 2 (een term zonder x). Dat wil zeggen, de hele wortel kan een van de getallen zijn:
–2, –1, 1, 2 .
We vervangen deze waarden op hun beurt:
(–2) 4 + 2·(–2) 3 + 3·(–2) 3 + 4·(–2) + 2 = 6 ,
(–1) 4 + 2·(–1) 3 + 3·(–1) 3 + 4·(–1) + 2 = 0 ,
1 4 + 2·1 3 + 3·1 3 + 4·1 + 2 = 12 ,
2 4 + 2·2 3 + 3·2 3 + 4·2 + 2 = 54 .

Dus vonden we één wortel:
X 1 = –1 .
Deel de polynoom door x - x 1 = x - (–1) = x + 1:

dan,
.

Nu moet u de vergelijking van de derde graad oplossen:
.
Als we aannemen dat deze vergelijking een hele wortel heeft, dan is het een deler van 2 (een term zonder x). Dat wil zeggen, de hele wortel kan een van de getallen zijn:
1, 2, –1, –2 .
Vervang x = –1:
.

Dus vonden we nog een root x 2 = –1. Het zou mogelijk zijn, zoals in het vorige geval, om de veelterm in te delen, maar we zullen de leden groeperen:
.

Omdat de vergelijking x 2 + 2 = 0 geen echte wortels heeft, heeft de factorisatie van de polynoom de vorm:
.

Auteur: Oleg Odintsov. Geplaatst: 18-06-2015

Stelling van Bezou

Na de deling van een polynoom in de vorm P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 op (x - s), dan krijgen we de rest, die gelijk is aan de polynoom op het punt s, dan krijgen we

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s), waarbij Q n - 1 (x) een polynoom is met graad n - 1.

Factorisatie van het kwadratische trinomiaal

Een vierkante trinomiaal van de vorm a x 2 + b x + c kan worden ontleed in lineaire factoren. dan krijgen we dat a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2), waarbij x 1 en x 2 de wortels zijn (complex of echt).

Dit laat zien dat de ontleding zelf wordt gereduceerd tot het vervolgens oplossen van de kwadratische vergelijking.

Factor het kwadratische trinomiaal.

Het is noodzakelijk om de wortels van de vergelijking 4 x 2 - 5 x + 1 = 0 te vinden. Hiervoor is het noodzakelijk om de waarde van de discriminant te vinden door de formule, dan verkrijgen we D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Vandaar dat we dat hebben

x 1 = 5 - 9 2 · 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 · 4 = 1

Hieruit volgt dat 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

Om dit te controleren, moet u de beugels openen. Dan krijgen we een uitdrukking van de vorm:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Na controle komen we bij de oorspronkelijke uitdrukking. Dat wil zeggen dat we kunnen concluderen dat de ontbinding waar is.

Factor de vierkante trinomiaal van de vorm 3 x 2 - 7 x - 11.

We krijgen dat het noodzakelijk is om de resulterende kwadratische vergelijking van de vorm 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 te berekenen.

Om de wortels te vinden, moet men de betekenis van de discriminant bepalen. We snappen dat

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 · 3 · (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 · 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 · 3 = 7 - 181 6

Hieruit verkrijgen we dat 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.

Factor de polynoom 2 x 2 + 1.

Nu moeten we de kwadratische vergelijking 2 x 2 + 1 = 0 oplossen en de wortels ervan vinden. We snappen dat

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 · i x 2 = - 1 2 = - 1 2 · i

Deze wortels worden complex geconjugeerd genoemd, wat betekent dat de ontleding zelf kan worden weergegeven als 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

Ontleed de vierkante trinomiaal x 2 + 1 3 x + 1.

Eerst moet je een kwadratische vergelijking van de vorm x 2 + 1 3 x + 1 = 0 oplossen en de wortels vinden.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 · 1 · 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 · 1 = - 1 3 + 35 3 · i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · ix 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · i 2 = - 1 - 35 · i 6 = - 1 6 - 35 6 · i

We hebben de wortels en schrijven

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 · i x - - 1 6 - 35 6 · i = = x + 1 6 - 35 6 · i x + 1 6 + 35 6 · i

Als de discriminerende waarde negatief is, blijven de polynomen tweede orde polynomen. Hieruit volgt dat we ze niet zullen ontleden in lineaire factoren.

Methoden om een ​​polynoom van graad hoger te berekenen dan de seconde

De ontbinding veronderstelt een universele methode. De meeste gevallen zijn gebaseerd op de uitvloeisel van de stelling van Bezout. Selecteer hiertoe de basiswaarde x 1 en verlaag de graad door te delen door een polynoom door 1 door te delen door (x - x 1). De resulterende polynoom moet de wortel x 2 vinden en het zoekproces is cyclisch totdat we een volledige ontbinding hebben.

Als de root niet wordt gevonden, worden andere methoden van factorisatie gebruikt: groepering, aanvullende termen. Dit onderwerp gaat uit van de oplossing van vergelijkingen met hogere graden en gehele coëfficiënten.

Bracketing de gemeenschappelijke factor

Beschouw het geval wanneer de vrije term gelijk is aan nul, dan wordt de vorm van de polynoom als P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + een 1 x.

Het is te zien dat de wortel van zo'n polynoom x 1 = 0 is, dan kunnen we het polynoom voorstellen in de vorm van de uitdrukking P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + ... + a 1)

Deze methode wordt beschouwd als het plaatsen van de gemeenschappelijke factor tussen haakjes.

Factoriseer de polynoom van de derde graad 4 x 3 + 8 x 2 - x.

We zien dat x 1 = 0 de wortel is van de gegeven polynoom, dan kunnen we x tussen de haakjes van de hele uitdrukking plaatsen. We krijgen:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

We gaan verder met het vinden van de wortels van het vierkant trinomiaal 4 x 2 + 8 x - 1. Zoek de discriminant en wortels:

D = 8 2 - 4 · 4 · (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 · 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 · 4 = - 1 - 5 2

Dan volgt dat

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = 4 xx - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 xx + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Factorisatie van een polynoom met rationele wortels

Om te beginnen nemen we een ontledingsmethode in overweging die gehele getalcoëfficiënten van de vorm P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + bevat. . . + a 1 x + a 0, waarbij de coëfficiënt in de hoogste graad 1 is.

Wanneer het polynoom hele wortels heeft, worden ze beschouwd als delers van de vrije term.

Ontleed de uitdrukking f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

Overweeg of er hele wortels zijn. Het is noodzakelijk om de delers van het getal uit te schrijven - 18. We krijgen die ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18. Hieruit volgt dat deze veelterm hele wortels heeft. U kunt controleren volgens het Horner-schema. Het is erg handig en stelt u in staat om snel de uitzettingscoëfficiënten van de polynoom te verkrijgen:

x iPolynomiale coëfficiënten
13- 1- 9- 18
113 + 1 · 1 = 4- 1 + 4 · 1 = 3- 9 + 3 · 1 = - 6- 18 + ( - 6 ) · 1 = - 24
- 113 + 1 · ( - 1 ) = 2- 1 + 2 · ( - 1 ) = - 3- 9 + ( - 3 ) · ( - 1 ) = - 6- 18 + ( - 6 ) · ( - 1 ) = - 12
213 + 1 · 2 = 5- 1 + 5 · 2 = 9- 9 + 9 · 2 = 9- 18 + 9 · 2 = 0
215 + 1 · 2 = 79 + 7 · 2 = 239 + 23 · 2 = 55
- 215 + 1 · ( - 2 ) = 39 + 3 · ( - 2 ) = 39 + 3 · ( - 2 ) = 3
315 + 1 · 3 = 89 + 8 · 3 = 339 + 33 · 3 = 108
- 315 + 1 · ( - 3 ) = 29 + 2 · ( - 3 ) = 39 + 3 · ( - 3 ) = 0

Hieruit volgt dat x = 2 en x = - 3 de wortels zijn van de oorspronkelijke polynoom, die kan worden weergegeven als een product van de vorm:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

We gaan verder met de ontleding van de kwadratische trinomiaal van de vorm x 2 + 2 x + 3.

Omdat de discriminant negatief is, betekent dit dat er geen echte wortels zijn.

Het antwoord is: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Het is toegestaan ​​om de selectie van de wortel te gebruiken en het polynoom te verdelen in een polynoom in plaats van het Horner-schema. We beschouwen de uitbreiding van een polynoom met gehele coëfficiënten in de vorm P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x + a 0, waarvan de oudste gelijk is aan één.

Deze casus vindt plaats voor fractioneel rationele breuken.

Factoriseer f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15.

Het is noodzakelijk om de verandering van variabele y = 2 x uit te voeren, we moeten naar de polynoom gaan met coëfficiënten gelijk aan 1 in de hoogste graad. U moet beginnen met het vermenigvuldigen van de uitdrukking met 4. We snappen dat

4 f (x) = 2 3 · x 3 + 19 · 2 2 · x 2 + 82 · 2 · x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

Wanneer de resulterende functie van de vorm g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 gehele getallen heeft, dan bevindt hun locatie zich onder de delers van de vrije term. De invoer heeft de vorm:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

We gaan door met het berekenen van de functie g (y) op deze punten om nul als resultaat te verkrijgen. We snappen dat

g (1) = 1 3 + 19 · 1 2 + 82 · 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 · (- 1) 2 + 82 · (- 1) + 60 = - 4 g (2) = 2 3 + 19 · 2 2 + 82 · 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 · (- 2) 2 + 82 · (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 · 3 2 + 82 · 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 · (- 3) 2 + 82 · (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 · 5 2 + 82 · 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 · (- 5) 2 + 82 · (- 5) + 60

We krijgen dat y = - 5 de wortel is van een vergelijking in de vorm y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, wat betekent dat x = y 2 = - 5 2 de wortel is van de oorspronkelijke functie.

Het is noodzakelijk om te delen door een kolom 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 door x + 5 2.

We schrijven en krijgen:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Het controleren van de delers zal veel tijd kosten, dus het is winstgevender om de resulterende vierkante trinomiaal van de vorm x 2 + 7 x + 3 te factoreren. Gelijk aan nul vinden we de discriminant.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 · 1 · 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Hieruit volgt

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Groeperingsmethode

Er zijn gevallen waarin het mogelijk is om de termen van een polynoom te groeperen om een ​​gemeenschappelijke factor te vinden en deze buiten de haakjes te plaatsen.

Factor de polynoom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

Omdat de coëfficiënten gehele getallen zijn, kunnen de wortels vermoedelijk ook gehele getallen zijn. Voor verificatie nemen we de waarden 1, - 1, 2 en - 2 om de waarde van de polynoom op deze punten te berekenen. We snappen dat

1 4 + 4 · 1 3 - 1 2 - 8 · 1 - 2 = - 6 ≠ 0 ( - 1 ) 4 + 4 · ( - 1 ) 3 - ( - 1 ) 2 - 8 · ( - 1 ) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 · 2 3 - 2 2 - 8 · 2 - 2 = 26 ≠ 0 ( - 2 ) 4 + 4 · ( - 2 ) 3 - ( - 2 ) 2 - 8 · ( - 2 ) - 2 = - 6 ≠ 0

Dit laat zien dat er geen wortels zijn, het is noodzakelijk om een ​​andere methode van ontbinding en oplossing te gebruiken.

Het is noodzakelijk om te groeperen:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Na het groeperen van het oorspronkelijke polynoom, is het noodzakelijk om het weer te geven als het product van twee vierkante trinomials. Om dit te doen, moeten we factoriseren. dat begrijpen we

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 · 1 · 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 · 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

De eenvoud van de groepering betekent niet dat het eenvoudig genoeg is om de voorwaarden te kiezen. Er is geen duidelijke manier om het op te lossen, daarom is het noodzakelijk om speciale stellingen en regels te gebruiken.

Factor de polynoom x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

Een gegeven polynoom heeft geen gehele wortels. Het is noodzakelijk om de voorwaarden te groeperen. We snappen dat

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Na factoring krijgen we dat

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Gebruik van de verkorte vermenigvuldigingsformules en de binomiale factor van Newton

Uiterlijk maakt vaak niet altijd duidelijk welke manier te gebruiken bij het ontbinden. Nadat de transformaties zijn gemaakt, kun je een lijn bouwen die bestaat uit de driehoek van Pascal, anders worden ze binomiaal van Newton genoemd.

Factor de polynoom x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

U moet de uitdrukking naar type converteren

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

De reeks coëfficiënten van de som tussen haakjes wordt aangegeven door de uitdrukking x + 1 4.

Daarom hebben we x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

Nadat we het verschil van de vierkanten hebben toegepast, krijgen we

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

Overweeg de uitdrukking in de tweede schijf. Het is duidelijk dat er geen paarden zijn, dus de kwadratische verschilformule moet opnieuw worden toegepast. We krijgen een uitdrukking van het formulier

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Factoriseer x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6.

Laten we de expressie omzetten. We snappen dat

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 · 2 · x 2 + 3 · 2 2 · x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Het is noodzakelijk om de formule van verkorte vermenigvuldiging van het verschil van kubussen toe te passen. We krijgen:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

De manier om een ​​variabele te vervangen bij het ontbinden van een polynoom

Bij het vervangen van een variabele wordt de graad verlaagd en wordt de polynoom ontbonden.

Factoriseer een polynoom met de vorm x 6 + 5 x 3 + 6.

Door de voorwaarde is het duidelijk dat het nodig is om y = x 3 te vervangen. We krijgen:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

De wortels van de verkregen kwadratische vergelijking zijn dan y = - 2 en y = - 3

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Het is noodzakelijk om de formule van verminderde vermenigvuldiging van de som van kubussen toe te passen. We krijgen uitingen van de vorm:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Dat wil zeggen, ze hebben de gewenste ontbinding.

De hierboven besproken gevallen zullen helpen om de polynoom op verschillende manieren te overwegen en in rekening te brengen.

Concept en definitie

Velen begrijpen niet hoe het vierkante trinomiaal moet worden bepaald, en waarom dit wordt gedaan. In het begin lijkt het misschien een nutteloze oefening. Maar er wordt niets zomaar in de wiskunde gedaan. Conversie is nodig om de expressie en het berekeningsgemak te vereenvoudigen.

De veelterm met de vorm - ax² + bx + c,het vierkante trinomiaal genoemd. De term "a" moet negatief of positief zijn. In de praktijk wordt deze uitdrukking een kwadratische vergelijking genoemd. Daarom zeggen ze soms anders: hoe de kwadratische vergelijking uit te breiden.

Interessant! Een vierkant polynoom wordt vanwege zijn grootste graad genoemd - een vierkant. En het trinomiaal is te wijten aan 3 samengestelde termen.

Enkele andere soorten polynomen:

  • lineaire binomiaal (6x + 8),
  • kubieke vier term (x³ + 4x²-2x + 9).

Factorisatie van het vierkante trinomiaal

Eerst is de uitdrukking gelijk aan nul, daarna moet u de waarden van de wortels x1 en x2 vinden. Er kunnen geen wortels zijn, misschien een of twee wortels. De aanwezigheid van wortels wordt bepaald door de discriminant. Zijn formule moet uit het hoofd bekend zijn: D = b²-4ac.

Als het resultaat D negatief is, zijn er geen wortels. Als positief, zijn er twee wortels. Als het resultaat nul is, is de root een. Roots worden ook berekend door de formule.

Als de berekening van de discriminant nul oplevert, kunt u een van de formules gebruiken. In de praktijk wordt de formule eenvoudig afgekort: -b / 2a.

De formules voor verschillende discriminerende waarden zijn verschillend.

Als D positief is:

Als D nul is:

Als de uitdrukking negatief is, hoeft er niets te worden overwogen.

Dit is interessant! Hoe te vinden en wat zal de omtrek zijn

Online rekenmachines

Er is een online rekenmachine op internet. Hiermee kun je factoriseren. Sommige bronnen bieden de mogelijkheid om de oplossing stap voor stap te bekijken. Dergelijke services helpen het onderwerp beter te begrijpen, maar u moet proberen het goed te begrijpen.

Als het onderwerp duidelijk is, is het raadzaam om een ​​online rekenmachine te gebruiken om de oplossing te controleren.

Alternatieve oplossing

Sommige mensen konden geen vrienden maken met de discriminant. Je kunt de kwadratische trinomiaal op een andere manier factoreren. Voor het gemak wordt de methode als een voorbeeld getoond.

We weten dat 2 haakjes moeten blijken: (_) (_). Wanneer de uitdrukking er als volgt uitziet: x² + bx + c, plaats x: (x _) (x_) aan het begin van elke haakje. De resterende twee getallen zijn het product dat 'c' geeft, dat wil zeggen in dit geval -10. Om erachter te komen wat deze nummers zijn, is het alleen mogelijk door de selectiemethode. Vervangen nummers moeten overeenkomen met de resterende looptijd.

Dit is interessant! Wiskundelessen: vermenigvuldigen met nul is de hoofdregel

Het vermenigvuldigen van de volgende getallen geeft bijvoorbeeld -10:

Vervolgens voeren we de selectie uit en zien we een uitdrukking die eerst was:

  1. (x-1) (x + 10) = x2 + 10x-x-10 = x2 + 9x-10. Nee.
  2. (x-10) (x + 1) = x2 + x-10x-10 = x2-9x-10. Nee.
  3. (x-5) (x + 2) = x2 + 2x-5x-10 = x2-3x-10. Nee.
  4. (x-2) (x + 5) = x2 + 5x-2x-10 = x2 + 3x-10. Geschikt.

Dus de transformatie van de uitdrukking x2 + 3x-10 ziet er zo uit: (x-2) (x + 5).

Belangrijk! Het is de moeite waard om zorgvuldig te controleren om de tekens niet te verwarren.

Ontleding van een complexe trinomiaal

Als "a" groter is dan één, beginnen moeilijkheden. Maar alles is niet zo moeilijk als het lijkt.

Om te ontbinden, moet je eerst kijken of het mogelijk is om iets te bevestigen.

Bijvoorbeeld, gegeven de uitdrukking: 3x² + 9x-30. Het nummer 3 staat hier:

3 (x² + 3x-10). Het resultaat is het reeds bekende trinomiaal. Het antwoord is: 3 (x-2) (x + 5)

Hoe te ontbinden als het kwadraat van de term negatief is? In dit geval staat het cijfer -1 tussen haakjes. Bijvoorbeeld: -x²-10x-8. Nadat de uitdrukking er als volgt uitziet:

Het schema verschilt weinig van het vorige. Er zijn slechts enkele nieuwe punten. Stel dat de uitdrukking wordt gegeven: 2x² + 7x + 3. Het antwoord staat ook tussen 2 haakjes, die moeten worden ingevuld (_) (_). In de 2e schijf staat x en in de 1e staat wat er overblijft. Het ziet er zo uit: (2x _) (x_). Anders wordt het vorige patroon herhaald.

Nummer 3 geeft de nummers:

We lossen de vergelijkingen op door deze getallen te vervangen. De laatste optie is geschikt. Dus de transformatie van de uitdrukking 2x² + 7x + 3 ziet er zo uit: (2x + 1) (x + 3).

Dit is interessant! We vinden het goed: hoe u een percentage van het bedrag en het aantal kunt vinden

Andere gevallen

Een uitdrukking transformeren is niet altijd mogelijk. In de tweede methode is de oplossing van de vergelijking niet vereist. Maar de mogelijkheid om de voorwaarden om te zetten in een product wordt alleen gecontroleerd door discriminanten.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Bekijk de video: Irreducible Polynomials (December 2021).

Pin
Send
Share
Send
Send