Handige tips

Hoe de hoekcoëfficiënt te vinden?

Pin
Send
Share
Send
Send


Lijnhoekcoëfficiënt - coëfficiënt die de hellingsgraad van de lijn karakteriseert. factor k in de vergelijking y = kx + b lijn op het coördinaatvlak, numeriek gelijk aan de raaklijn van de hoek (de kleinste rotatie van de Ox-as naar de Oy-as) tussen de positieve richting van de abscis-as en deze rechte lijn

Probleem: vind de helling van de lijn gegeven door vergelijking 36x - 18y = 108

Oplossing: transformeer de oorspronkelijke vergelijking.

Antwoord: De gewenste helling van deze lijn is 2.

Als we tijdens de transformaties van de vergelijking een uitdrukking van het type x = const krijgen en als gevolg daarvan y niet kunnen vertegenwoordigen als een functie van x, hebben we te maken met een rechte lijn evenwijdig aan de X-as. De hoekcoëfficiënt van een dergelijke rechte lijn is oneindig.

Voor lijnen die worden uitgedrukt door een vergelijking van type y = const, is de helling nul. Dit is typisch voor rechte lijnen evenwijdig aan de abscis-as. Bijvoorbeeld:

Geometrische betekenis

Raadpleeg de afbeelding voor een beter begrip:

In de figuur zien we een grafiek van een functie van type y = kx. Voor de eenvoud nemen we de coëfficiënt c = 0. In de driehoek OAV zal de verhouding van de zijde van de VA tot de AO gelijk zijn aan de hoekcoëfficiënt k. Tegelijkertijd is de VA / AO-verhouding de raaklijn van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek van OAV. Het blijkt dat de hoekcoëfficiënt van de lijn gelijk is aan de tangens van de hoek die deze lijn vormt met de abscis-as van het coördinatenrooster.

Het probleem oplossen van het vinden van de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn, vinden we de tangens van de hoek tussen deze en de X-as van het coördinatenrooster. Grensgevallen waarbij de rechte lijn evenwijdig is aan de coördinaatassen bevestigen het bovenstaande. Inderdaad, voor de lijn die wordt beschreven door de vergelijking y = const, is de hoek tussen deze en de abscis-as gelijk aan nul. De tangens van de nulhoek is ook gelijk aan nul en de hoekcoëfficiënt is ook gelijk aan nul.

Voor rechte lijnen loodrecht op de abscis-as en beschreven door de vergelijking x = const, is de hoek tussen hen en de X-as 90 graden. De tangens van een rechte hoek is gelijk aan oneindig, evenals de hoekcoëfficiënt van dergelijke lijnen is gelijk aan oneindig, hetgeen het bovenstaande bevestigt.

Tangens hoekcoëfficiënt

Een veel voorkomende, in de praktijk vaak voorkomende taak is ook om op een bepaald punt de hoekcoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van de functie te vinden. De raaklijn is een lijn, daarom is het concept van een hoekcoëfficiënt er ook op van toepassing.

Om te begrijpen hoe we de hoekcoëfficiënt van een raaklijn kunnen vinden, moeten we het concept van een afgeleide herinneren. De afgeleide van elke functie op een bepaald punt is een constante numeriek gelijk aan de tangens van de hoek die wordt gevormd tussen de tangens op het opgegeven punt van de grafiek van deze functie en de as van de abscis. Het blijkt dat om de hoekcoëfficiënt van de raaklijn op het punt x te bepalen0, we moeten de waarde van de afgeleide van de oorspronkelijke functie op dit punt berekenen k = f '(x0). Overweeg een voorbeeld:

Hoekverhouding Calculator

Online calculator voor het vinden van de hoekcoëfficiënt van een rechte lijn. Vind gemakkelijk uw helling online

  • Een rechte lijn neemt toe als deze van links naar rechts omhoog gaat. De hoekcoëfficiënt is positief, k>0.
  • Een rechte lijn neemt af als deze van links naar rechts daalt. De hoekcoëfficiënt is negatief, k k = (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
    (Or)
    k = (Y1 - Y2) / (X1 - X2)

  • k = hoekcoëfficiënt van de lijn,
  • X1, X2 = X-coördinaten,
  • Y1, Y2 = Y-coördinaten.

Een voorbeeld van het vinden van de hoekcoëfficiënt:

Stel dat een lijn door twee punten gaat: P = (1, 2) en Q = (13, 8). Het verschil verdelen Y-coördineren voor verschil X-coördinaat, u kunt de hoekcoëfficiënt van de lijn krijgen:

  • k= (Y2 - Y1) / (X2 - X1)
  • = (8-2)/(13-1)
  • = 6/12
  • = 1/2

Omdat de helling positief is, neemt de richting van de lijn toe. Sinds | k | k= (Y2 - Y1) / (X2 - X1)

  • = (21-15)/(3-4)
  • = 6/-1
  • = — 6
  • Omdat de helling negatief is, neemt de rechte lijn af. Omdat | k |> 1 is de helling van de lijn behoorlijk steil (helling> 45 °).

    Synoniemen: helling, raaklijn, helling van de lijn, helling

    De helling van de lijn en de helling van de lijn

    Voordat een dergelijke vergelijking wordt geschreven, is het noodzakelijk om de hellingshoek van de lijn met de Ox-as te bepalen met hun hoekcoëfficiënt. Stel dat een Cartesiaans coördinatenstelsel Ox op een vlak wordt gegeven.

    De hellingshoek van de lijn ten opzichte van de as O x gelegen in het Cartesiaanse coördinatensysteem O x y op het vlak, dit is de hoek die wordt gemeten vanaf de positieve richting O x tegen de lijn in tegen de klok in.

    Wanneer de lijn evenwijdig is aan O x of er een overeenkomst in voorkomt, is de hellingshoek 0. Vervolgens wordt de helling van de gegeven lijn α gedefinieerd op het interval [0, π).

    Lijnhoekcoëfficiënt Is de tangens van de hoek van de gegeven lijn.

    De standaardaanduiding is de letter k. Uit de definitie halen we dat k = t g α. Als de lijn evenwijdig is aan Oh, zeggen ze dat de helling niet bestaat, omdat deze naar het oneindige gaat.

    De hoekcoëfficiënt is positief wanneer de grafiek van de functie toeneemt en vice versa. De figuur toont verschillende variaties in de locatie van de rechte hoek ten opzichte van het coördinatenstelsel met de coëfficiëntwaarde.

    Om deze hoek te vinden, is het noodzakelijk om de definitie van de hoekcoëfficiënt toe te passen en de tangens van de hellingshoek in het vlak te berekenen.

    Bereken de helling van een rechte lijn onder een hellingshoek van 120 °.

    Uit de voorwaarde hebben we dat α = 120 °. Per definitie is het noodzakelijk om de hoekcoëfficiënt te berekenen. We vinden het uit de formule k = t g α = 120 = - 3.

    Als de hoekcoëfficiënt bekend is en het noodzakelijk is om de hellingshoek ten opzichte van de abscis-as te vinden, moet rekening worden gehouden met de waarde van de hoekcoëfficiënt. Als k> 0, dan is de hoek van de lijn scherp en wordt gevonden met de formule α = a r c t g k. Als k 0, dan is de hoek stompe, wat het recht geeft om deze te bepalen met de formule α = π - a r c t g k.

    Bepaal de hellingshoek van een gegeven lijn tot O x met een hoekcoëfficiënt van 3.

    Uit de voorwaarde hebben we dat de helling positief is, wat betekent dat de hellingshoek tot O x minder dan 90 graden is. De berekeningen worden gemaakt volgens de formule α = a r c t g k = a r c t g 3.

    Antwoord: α = a r c t g 3.

    Bepaal de hellingshoek van de lijn ten opzichte van de as O x, als de hoekcoëfficiënt = - 1 3.

    Als we de letter k nemen voor de aanduiding van de hoekcoëfficiënt, dan is α de hellingshoek van een gegeven lijn in de positieve richting О x. Daarom is k = - 1 3 0, dan is het noodzakelijk om de formule α = π - a r c t g k toe te passen. Bij vervanging verkrijgen we de uitdrukking:

    α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

    Het antwoord is: 5 π 6 .

    Vergelijking met een hoekcoëfficiënt

    Een vergelijking in de vorm y = k · x + b, waarbij k een hoekcoëfficiënt is en b een reëel getal is, wordt de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt genoemd. De vergelijking is karakteristiek voor elke rechte, niet-parallelle as O y.

    Als we in detail de rechte lijn op het vlak beschouwen in een vast coördinatensysteem, dat wordt gegeven door een vergelijking met een hoekcoëfficiënt, die de vorm y = k · x + b heeft. In dit geval betekent dit dat de coördinaten van een willekeurig punt op de lijn overeenkomen met de vergelijking. Als we de coördinaten van het punt M, M 1 (x 1, y 1) in de vergelijking y = k · x + b vervangen, dan gaat de lijn in dit geval door dit punt, anders hoort het punt niet bij de lijn.

    Een lijn met een hoekcoëfficiënt y = 1 3 x - 1 wordt gegeven. Bereken of de punten M 1 (3, 0) en M 2 (2, - 2) bij een gegeven lijn horen.

    Het is noodzakelijk om de coördinaten van het punt M 1 (3, 0) in de gegeven vergelijking te vervangen, dan krijgen we 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Gelijkheid is waar, dan hoort het punt bij de lijn.

    Als we de coördinaten van het punt M 2 (2, - 2) vervangen, verkrijgen we een onjuiste gelijkheid van de vorm - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. We kunnen concluderen dat het punt M 2 niet tot de lijn behoort.

    Het antwoord is: M 1 hoort bij de regel, maar M 2 niet.

    Het is bekend dat de lijn wordt gedefinieerd door de vergelijking y = k · x + b die door M 1 gaat (0, b), en wanneer we deze vervangen, verkrijgen we gelijkheid in de vorm b = k · 0 + b ⇔ b = b. Hieruit kunnen we concluderen dat de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt y = k · x + b in het vlak een lijn definieert die door punt 0, b gaat. Het vormt een hoek α met de positieve richting van de as O x, waarbij k = t g α.

    Beschouw bijvoorbeeld een lijn gedefinieerd met behulp van een hoekcoëfficiënt gedefinieerd door de vorm y = 3 · x - 1. We krijgen dat de lijn door het punt loopt met de coördinaat 0, - 1 met een helling van α = a r c t g 3 = π 3 radialen in de positieve richting van de O x-as. Dit laat zien dat de coëfficiënt 3 is.

    Vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt die door een bepaald punt gaat

    Het is noodzakelijk om het probleem op te lossen waar het nodig is om de vergelijking te verkrijgen van een lijn met een gegeven hoekcoëfficiënt die door het punt M 1 loopt (x 1, y 1).

    De gelijkheid y 1 = k · x + b kan als redelijk worden beschouwd, aangezien de lijn door het punt M 1 gaat (x 1, y 1). Om het getal b te verwijderen, is het noodzakelijk om de vergelijking af te trekken met een hoekcoëfficiënt van de linker- en rechterkant. Hieruit volgt dat y - y 1 = k · (x - x 1). Deze gelijkheid wordt de vergelijking van een lijn met een gegeven hoekcoëfficiënt k genoemd die door de coördinaten van het punt M 1 (x 1, y 1) gaat.

    Maak de vergelijking van een lijn die door punt M 1 gaat met coördinaten (4, - 1), met een hoekcoëfficiënt gelijk aan - 2.

    beslissing

    Volgens de hypothese hebben we dat x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Daarom wordt de vergelijking van de lijn op deze manier geschreven y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7.

    Het antwoord is: y = - 2 x + 7.

    Schrijf de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt die door punt M 1 gaat met coördinaten (3, 5) evenwijdig aan de lijn y = 2 x - 2.

    Volgens de hypothese hebben parallelle lijnen samenvallende hellingshoeken, wat betekent dat de hoekcoëfficiënten gelijk zijn. Om de hoekcoëfficiënt uit deze vergelijking te vinden, moet de basisformule y = 2 x - 2 worden opgeroepen, wat impliceert dat k = 2. We stellen een vergelijking samen met een hoekcoëfficiënt en we verkrijgen:

    y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 · (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

    Overgang van de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt naar andere soorten vergelijkingen van een rechte lijn en vice versa

    Een dergelijke vergelijking is niet altijd van toepassing voor het oplossen van problemen, omdat het een niet erg handige record heeft. Hiervoor is het nodig om in een andere vorm te presenteren. Een vergelijking met de vorm y = k · x + b staat bijvoorbeeld niet toe de coördinaten van de richtvector van de lijn of de coördinaten van de normale vector op te schrijven. Om dit te doen, moet je leren hoe je vergelijkingen van een ander soort kunt voorstellen.

    We kunnen de canonieke vergelijking van een lijn op een vlak verkrijgen met behulp van de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt. We krijgen x - x 1 a x = y - y 1 a y. Het is noodzakelijk om de term b naar de linkerkant over te brengen en te delen door de uitdrukking van de verkregen ongelijkheid. Dan verkrijgen we een vergelijking in de vorm y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

    De vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt is de canonieke vergelijking van deze lijn geworden.

    Verminder de vergelijking van een rechte lijn met een hoekcoëfficiënt y = - 3 x + 12 tot de canonieke vorm.

    We berekenen en vertegenwoordigen de rechte lijn in de vorm van de canonieke vergelijking. We krijgen een vergelijking van de vorm:

    y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

    Antwoord: x 1 = y - 12 - 3.

    De algemene vergelijking van de lijn is het gemakkelijkst te verkrijgen uit y = k · x + b, maar hiervoor moeten de transformaties worden gemaakt: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Er wordt een overgang gemaakt van de algemene vergelijking van de lijn naar andere vergelijkingen.

    Een directe vergelijking met de vorm y = 1 7 x - 2 wordt gegeven. Ontdek of een vector met coördinaten a → = (- 1, 7) een normale lijnvector is?

    Om het op te lossen, is het nodig om over te schakelen naar een andere vorm van deze vergelijking, hiervoor schrijven we:

    y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

    De coëfficiënten voor de variabelen zijn de coördinaten van de normale lijnvector. We schrijven het zo: n → = 1 7, - 1, dus 1 7 x - y - 2 = 0. Het is duidelijk dat de vector a → = (- 1, 7) collineair is ten opzichte van de vector n → = 1 7, - 1, omdat we een eerlijke relatie a → = - 7 · n → hebben. Hieruit volgt dat de oorspronkelijke vector a → = - 1, 7 de normale vector is van de lijn 1 7 x - y - 2 = 0, wat betekent dat deze wordt beschouwd als een normale vector voor de lijn y = 1 7 x - 2.

    We lossen het omgekeerde probleem op.

    Het is noodzakelijk om van de algemene vorm van de vergelijking A x + B y + C = 0, waar B ≠ 0, over te gaan naar de vergelijking met een hoekcoëfficiënt. hiervoor lossen we de vergelijking op met y. We krijgen A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B.

    Het resultaat is een vergelijking met een hoekcoëfficiënt die gelijk is aan - A B.

    Een directe vergelijking met de vorm 2 3 x - 4 y + 1 = 0 wordt gegeven. Krijg de vergelijking van deze lijn met een hoekcoëfficiënt.

    Gebaseerd op de voorwaarde, is het noodzakelijk om op te lossen ten opzichte van y, dan krijgen we een vergelijking van de vorm:

    2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 · 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.

    Antwoord: y = 1 6 x + 1 4.

    De vergelijking van de vorm x a + y b = 1, die de vergelijking van een rechte lijn in segmenten wordt genoemd, of de canonieke vorm van de vorm x - x 1 a x = y - y 1 a y, wordt op dezelfde manier opgelost. Het is noodzakelijk om het op te lossen met betrekking tot y, alleen dan krijgen we een vergelijking met een hoekcoëfficiënt:

    x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

    De canonieke vergelijking kan worden gereduceerd tot een vorm met een hoekcoëfficiënt. Om dit te doen:

    x - x 1 ax = y - y 1 ay ⇔ ay · (x - x 1) = ax · (y - y 1) ⇔ ⇔ ax · y = ay · x - ay · x 1 + ax · y 1 ⇔ y = ayax x - ayax x 1 + y 1

    Er is een lijn gedefinieerd door de vergelijking x 2 + y - 3 = 1. Breng vergelijkingen met een hoekcoëfficiënt naar de vorm.

    Gebaseerd op de voorwaarde, is het noodzakelijk om te transformeren, dan krijgen we een vergelijking van de vorm _formule_. Beide delen van de vergelijking moeten worden vermenigvuldigd met - 3 om de benodigde vergelijking met een hoekcoëfficiënt te verkrijgen. Transformeren krijgen we:

    y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.

    Het antwoord is: y = 3 2 x - 3.

    Directe vergelijking van de vorm x - 2 2 = y + 1 5 leidt tot een beeld met een hoekcoëfficiënt.

    Het is noodzakelijk om de uitdrukking x - 2 2 = y + 1 5 als een verhouding te berekenen. We krijgen die 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1). Nu moet u het volledig oplossen, hiervoor:

    5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

    Antwoord: y = 5 2 x - 6.

    Om dergelijke problemen op te lossen, moet men parametrische vergelijkingen van een rechte lijn in de vorm x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ meenemen naar de canonieke vergelijking van de lijn, pas daarna kan men doorgaan naar de vergelijking met een hoekcoëfficiënt.

    Vind de helling van de lijn als deze wordt gegeven door de parametrische vergelijkingen x = λ y = - 1 + 2 · λ.

    Het is noodzakelijk om de overgang te maken van een parametrische weergave naar een hoekcoëfficiënt. Om dit te doen, vinden we de canonieke vergelijking van de gegeven parametrische:

    x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2.

    Nu is het noodzakelijk om deze gelijkheid met betrekking tot y op te lossen om de vergelijking van een lijn met een hoekcoëfficiënt te verkrijgen. hiervoor schrijven we op deze manier:

    x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 · x = 1 · (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

    Hieruit volgt dat de helling van de rechte lijn 2 is. Dit wordt geschreven als k = 2.

    Pin
    Send
    Share
    Send
    Send